C语言深入探究动态规划之线性DP-C/C++开发

线性动态规划，是较常见的一类动态规划问题，其是在线性结构上进行状态转移，这类问题不像背包问题、区间DP等有固定的模板，线性动态规划的目标函数为特定变量的线性函数，约束是这些变量的线性不等式或等式，目的是求目标函数的最大

写在前面

之前讲过背包问题，不知道大家忘了吗，如果忘了可以点这里，这次是线性DP

数字三角形

状态表示：f[i,j]，到点i，j的最大路径

状态计算：f[i,j] = MAX(f[i-1,j-1]+a[i,j],f[i-1,j]+a[i,j])

看图，以例题为例，将它看成五行五列的三角形，每个点都可以用坐标表示。那么我们可以得知到一个数的最大路径要么来自左上，要么来自右上。左上的数用f[i-1,j-1]表示，右上的数f[i-1,j]表示，因此我们就有了状态转移公式：

f[i,j] = MAX(f[i-1,j-1]+a[i,j],f[i-1,j]+a[i,j])

所以就有了最终的代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 510, INF = 1e9;

int n;
int a[N][N];
int f[N][N];

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= i; j ++ )
            scanf("%d", &a[i][j]);

    for (int i = 0; i <= n; i ++ )
        for (int j = 0; j <= i + 1; j ++ )//注意这里j从0到i+1,因为对于边界点,它的上一层只有一条路径通向它
            f[i][j] = -INF;//初始化近似为-∞

    f[1][1] = a[1][1];
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= i; j ++ )
            f[i][j] = max(f[i - 1][j - 1] + a[i][j], f[i - 1][j] + a[i][j]);

    int res = -INF;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) res = max(res, f[n][i]);

    printf("%d\n", res);
    return 0;
}

最长上升子序列

状态表示：f[i]表示从第一个数字开始算，以w[i]结尾的最大的上升序列。(以w[i]结尾的所有上升序列中属性为最大值的那一个)

状态计算（集合划分）：j∈(0,1,2,…,i-1), 在w[i] > w[j]时，

f[i] = max(f[i], f[j] + 1)。

有一个边界，若前面没有比i小的，f[i]为1（自己为结尾）。

最后在找f[i]的最大值。

时间复杂度

O(n2) 状态数(n) * 转移数(n)

看图，首先 f[i]f[i] 的含义是以 w[i]结尾的最长上升子序列的长度

初始值 f[i]=1,i∈[0,n−1]，表示自己就是最长上升子序列，长度为 1

接下来考虑状态转移，把前 i−1个数字中所有满足条件 w[j]<w[i]（因为要求是上升子序列）的 j 找出来，那么 f[i] 就可以试着更新为以 w[j] 结尾的最长上升子序列的长度再加上自己的长度 1，但可能更新完的结果没有之前更新过的 f[i] 大，最后两者取一个 max，所以状态转移方程就是 f[i]=max(f[i],f[j]+1)

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n;
int w[N], f[N];

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++) cin >> w[i];

    int mx = 1;    // 找出所计算的f[i]之中的最大值，边算边找
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        f[i] = 1;    // 设f[i]默认为1，找不到前面数字小于自己的时候就为1
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            if (w[i] > w[j]) f[i] = max(f[i], f[j] + 1);    // 前一个小于自己的数结尾的最大上升子序列加上自己，即+1
        }
        mx = max(mx, f[i]);
    }

    cout << mx << endl;
    return 0;
}

最长上升子序列 II

会发现II的数据范围变了,那我们就得做优化，怎么优化呢？

状态表示：f[i]表示长度为i的最长上升子序列，末尾最小的数字。(长度为i的最长上升子序列所有结尾中，结尾最小min的) 即长度为i的子序列末尾最小元素是什么。

状态计算：对于每一个w[i], 如果大于f[cnt-1] (下标从0开始，cnt长度的最长上升子序列，末尾最小的数字)，那就cnt+1，使得最长上升序列长度+1，当前末尾最小元素为w[i]。若w[i]小于等于f[cnt-1],说明不会更新当前的长度，但之前末尾的最小元素要发生变化，找到第一个大于或等于 (这里不能是大于) w[i]，更新以那时候末尾的最小元素。

f[i]一定以一个单调递增的数组，所以可以用二分法来找第一个大于或等于w[i]的数字。

时间复杂度

O(nlogn)状态数(n) * 转移数(logn)

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;
int n, cnt;
int w[N], f[N];

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 0 ; i < n; i++) cin >> w[i];

    f[cnt++] = w[0];
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        if (w[i] > f[cnt-1]) f[cnt++] = w[i];
        else {
            int l = 0, r = cnt - 1;
            while (l < r) {
                int mid = (l + r) >> 1;
                if (f[mid] >= w[i]) r = mid;
                else l = mid + 1;
            }
            f[r] = w[i];
        }
    }
    cout << cnt << endl;
    return 0;
}

最长公共子序列

集合表示：f[i][j]表示a的前i个字母，和b的前j个字母的最长公共子序列长度

集合划分：以a[i],b[j]是否包含在子序列当中为依据，因此可以分成四类：

①a[i]不在，b[j]不在

max=f[i−1][j−1]

②a[i]a[i]不在，b[j]b[j]在

看似是max=f[i−1][j] , 实际上无法用f[i−1][j]表示，因为f[i−1][j]表示的是在a的前i-1个字母中出现，并且在b的前j个字母中出现,此时b[j]不一定出现，这与条件不完全相等，条件给定是a[i]一定不在子序列中，b[j]一定在子序列当中，但仍可以用f[i−1][j]来表示，原因就在于条件给定的情况被包含在f[i−1][j]中，即条件的情况是f[i−1][j]的子集，而求的是max，所以对结果不影响。

例如：要求a，b，c的最大值可以这样求：max(max(a,b),max(b,c))虽然b被重复使用，但仍能求出max，求max只要保证不漏即可。

③a[i]，b[j]不在原理同②
④a[i]在，b[j]在 max=f[i−1][j−1]+1

实际上，在计算时，①包含在②和③的情况中，所以①不用考虑

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n , m;
char a[N] , b[N];
int f[N][N];
int main()
{
    cin >> n >> m;
    cin >> a + 1 >> b + 1;

    for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
        for(int j = 1 ; j <= m ; j++)
            {
                f[i][j] = max(f[i - 1][j] , f[i][j - 1]);//2和3的情况一定存在，所以可以无条件优先判断
                if(a[i] == b[j]) f[i][j] = max(f[i][j] , f[i - 1][j - 1] + 1);
            }                                                       

    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}